Une analyse purement mathématique des vibrations de systèmes continus n’est possible que pour des systèmes très simples. Généralement , il faut approximer ces systèmes en les discrétisant, se rapprochant ainsi des systèmes mécaniques formés de points matériels. Dans cette formation, on part des équations de Lagrange obtenues à partir du principe de Hamilton. Elles traitent juste le nombre d’équations différentielles égal au nombre de coordonnées généralisées et sont débarrassées des contraintes sur le mouvement. On donne les bases théoriques pour l’analyse dynamique des systèmes formés de points matériels, en se concentrant sur les types de systèmes particulièrement importants dans l’industrie. On passe ensuite à des systèmes continus simples comme les poutres et les plaques, afin de bien fixer les idées. La liaison est ensuite faite avec les systèmes formés de points matériels. La formation est ponctuée de nombreux exemples.
Contenu
1 SYSTÈMES FORMÉS DE POINTS MATÉRIELS
1.1 Oscillations libres autour d’une position d’équilibre stable
Energie cinétique – Constance de l’énergie totale – Stabilité de l’équilibre – Linéarisation au
voisinage de l’équilibre (Approximation des énergies potentielle et cinétique – Equations de
Lagrange – Modes normaux de vibrations – Orthogonalité des modes – Solution générale des
petites oscillations libres – Racines multiples) – Exemples (Suspension de voiture – Poutres
uniforme avec masses et inerties concentrées)
1.2 Réponse d’un système autour d’une position d’équilibre stable
Rappels sur la transformée de LAPLACE et la transformée de FOURIER – Système non amorti
à n ddl soumis à des forces extérieurs – Système non amorti à 1 ddl soumis à des forces
extérieures (Réponse générale – Réponse indicielle – Réponse percussionnelle – Réponse
harmonique forcée) – Système amorti à n ddl – Système amorti à 1 ddl (Transmittance
isochrone – Diagramme de Bode – Représentation logarithmique)
1.3 Oscillations autour d’une position d’équilibre indifférente
Modes rigides et propriétés – Equations du mouvement forcé – Exemples
1.4 Matrice des coefficients d’influence dynamiques
Notion – Développement spectral – Modes normaux de sollicitation – Vibration des arbres en
torsion
2 SYSTÈMES CONTINUS
2.1 Poutres
Formules élémentaires – Vibrations libres sans amortissement – Solution de l’équation aux
formes propres – Méthode de Rayleigh-Ritz générale, en escalier et en éléments finis
2.2 Plaques
Hypothèses cinématiques – Calcul de l’énergie de déformation – Energie cinétique – Application
du principe de Hamilton – Vibrations de la plaque rectangulaire – Application à la plaque
simplement appuyée sur son pourtour
